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Explicação da matéria II
Primeiro caso de fatoração: Evidenciação
Consideremos o polinômio 6ax2 - 4ax3
+ 2ax, que pode ser escrito como :
(2ax).(3x) - (2ax).(2x) + (2ax).(1). Percebemos que
o fator 2ax esta presente em todos
os termos do polinômio. 2ax é o fator comum e deverá
ser colocado em evidência.
Assim : 6ax2 - 4ax3 + 2ax =
(2ax) (3x - 2x2 + 1)
Exemplo 01) Fatorar o polinômio 7m2p4
- 14m3p2 + 21m4p3
Colocando o fator comum 7m2p2
em evidência, teremos :
7m2p4
- 14m3p2 + 21m4p3 = 7m2p2
( p2 - 2m + 3m2p)
Exemplo 02) Fatorar o polinômio 2m3(a -
b) + 8m2( a - b)
Colocando o fator comum 2m2(a - b) em evidência, teremos :
2m3(a - b) + 8m2( a - b ) =
[2m2(a - b)] ( m + 4) = 2m2(a - b)( m + 4)
Segundo caso de fatoração: Trinômio Quadrado Perfeito
Já aprendemos em produtos notáveis que :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
e (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
O que faremos agora é transformarmos a soma
algébrica a2 ± 2ab + b2 em sua
forma fatorada (a ± b)2. E para tal
precisamos compreender que um trinômio será
quadrado perfeito quando possuir dois de seus três
termos quadrados e o terceiro
sendo igual ao dobro do produto entre as raízes
quadradas dos termos quadrados.
Exemplo 03) Se possível, fatore o polinômio 4m2
+ 12mn2 + 9n4
O polinômio possui dois termos quadrados 4m2
e 9n4, e cujas raízes quadradas
são, respectivamente, 2m e 3n2. O dobro
do produto entre essas raízes é
exatamente igual ao terceiro termo 12mn2.
E dessa forma o polinômio 4m2 + 12mn2
+ 9n4 é um trinômio quadrado perfeito
e pode, portanto ser fatorado.
A raiz quadrada do primeiro termo quadrado é 2m, a
raiz do segundo termo
quadrado é 3n2 e o sinal que os une será
o sinal do terceiro termo + 12mn2.
Dessa forma, teremos : 4m2 + 12mn2
+ 9n4 = ( 2m + 3n2)2
Exemplo 04) Se possível, fatore o polinômio 16x4
+ 36x2y3 + 25y6
O polinômio possui dois termos quadrados 16x4
e 25y6, e cujas raízes quadradas
são, respectivamente, 4x2 e 5y3.
O dobro do produto entre essas raízes é igual a
40x2y3 que é diferente do
terceiro termo 36x2y3.
E dessa forma o polinômio 16x4 + 36x2y3
+ 25y6 não é um trinômio quadrado
perfeito e não pode, portanto, ser fatorado, pelo
menos como um trinômio
quadrado perfeito.
Exemplo 05) Se possível, fatore o polinômio 36 -
132p6n + 121p12n
O polinômio possui dois termos quadrados 36 e 121p12n,
e cujas raízes
quadradas são, respectivamente, 6 e 116n.
O dobro do produto entre essas
raízes é exatamente igual ao terceiro termo 132p6n.
E dessa forma o polinômio 36 - 132p6n +
121p12n é um trinômio quadrado
perfeito e pode, portanto, ser fatorado.
A raiz quadrada do primeiro termo quadrado é 6, a
raiz do segundo termo
quadrado é 11p6n e o sinal que os une
será o sinal do terceiro termo - 132p6n,
Dessa forma, teremos : 36 - 132p6n + 121p12n
= ( 6 - 11p6n)2
Terceiro caso de fatoração: Diferença de dois
quadrados
Já aprendemos em produtos notáveis que :
(a + b) (a - b)
= a2 - b2
O que faremos agora é transformarmos a diferença
algébrica a2 - b2 em sua forma
fatorada (a + b) (a - b). E para tal precisamos
extrair as raízes quadradas de ambos
os termos e montarmos com essas raízes a sua soma
multiplicada por sua diferença.
Exemplo 06) Fatore o binômio 64x2 - 25y8
O binômio é uma diferença de dois quadrados 64x2
e 25y8, e cujas raízes
quadradas são, respectivamente, 8x e 5y4.
Montando a soma (8x + 5y4) e a diferença
(8x - 5y4) e as multiplicando, teremos
nossa fatoração concluída.
Assim : 64x2 - 25y8 = (8x + 5y4)
(8x - 5y4)
Exemplo 07) Fatore 81 - 0,49k6
O binômio é uma diferença de dois quadrados 81 e
0,49k6, e cujas raízes
quadradas são, respectivamente, 9 e 0,7k3.
Montando a soma (9 + 0,7k3) e a diferença
(9 - 0,7k3) e as multiplicando,
teremos nossa fatoração concluída.
Assim : 81 -
0,49k6 = (9 + 0,7k3) (9 - 0,7k3)
Veja que interessante: Já sabemos que 49 - 25 = 24.
Vamos fazer essa diferença entre dois quadrados
utilizando a fatoração,
que acabamos de aprender: 49 - 25 = (7 + 5) ( 7 - 5
) = 12 x 2 = 24
( deu, é claro, o mesmo resultado )
Quarto caso de fatoração: Agrupamento
Quando em um polinômio dois ou mais termos possuem
um termo comum que evidenciado faz aparecer um termo comum à
fatoração dos demais termos. Só com alguns exemplos
podemos compreender melhor esse caso de fatoração.
Por essa razão o deixamos como o último caso de
fatoração.
Exemplo 8) Fatore o polinômio ac + ad + bc + bd (1ª
resolução )
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator
comum a em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum
b em evidência, teremos :
ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b( c + d). E
colocando o novo fator comum (c + d) em evidência, teremos :
ac + ad + bc + bd = a(c +
d) + b(c + d) = (c + d) (a + b)
Exemplo 9) Fatore o polinômio ac + ad + bc + bd (2ª
resolução )
Vamos agrupar agora o primeiro e o terceiro termo e,
também, o segundo e o quarto termo.
ac + ad + bc + bd = ac +
bc + ad + bd
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator
comum c em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum
d em evidência, teremos :
ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b)
E colocando o novo fator comum (a + b) em evidência,
teremos :
ac + bc + ad + bd = c(a +
b) + d(a + b) = (a + b) (c + d)
Exemplo 10) Fatore o polinômio 2am + an - 6bm - 3bn
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator
comum a em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum
- 3b em evidência, teremos :
2am + an - 6bm - 3bn = a(2m + n) - 3b(2m + n).
E colocando o novo fator comum (2m + n) em
evidência, teremos :
2am + an - 6bm - 3bn = a(2m + n) - 3b(2m + n) = (2m
+ n) (a - 3b)
Exemplo 11) Fatore 3a2x - 2b2
+ 2a2 - 3b2x
Reagrupando o polinômio, teremos : 3a2x -
3b2x + 2a2 - 2b2
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator
comum 3x em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator
comum 2 em evidência, teremos :
3a2x - 3b2x + 2a2 -
2b2 = 3x(a2 - b2) - 2(a2 - b2)
E colocando o novo fator comum (a2 - b2)
em evidência, teremos :
3a2x - 3b2x + 2a2 -
2b2 = 3x(a2 - b2) - 2(a2 - b2)
= (a2 - b2) (3x - 2)
E como o fator (a2 - b2) é
fatorável e igual a (a + b) (a - b), teremos, finalmente :
3a2x - 3b2x + 2a2 -
2b2 = 3x(a2 - b2) - 2(a2 - b2)
= (a2 - b2) (3x - 2) = (a + b) (a - b) (3x - 2)
Explicação da matéria
Para o triângulo ser semelhante ele tem que conter os
ângulos iguais e possuírem lados homólogos proporcionais.
Qual o valor de x?Como todos os ângulos são iguais, os dois triângulos são semelhantes. Assim:5 esta para 2 assim que 8 esta para xCom isso x valerá 3,2
Teorema de Pitágoras fórmulas:
cateto² + cateto² = hipotenusa²
hipotenusa . altura = cateto + cateto
cateto² = projeção desse cateto . hipotenusa
altura² = projeçoes²
Cálculo da diagonal do quadrado:
diagonal do quadrado tem a formula assim : diagonal = lado √
se o lado do quadrado for 10 a diagonal será 10√ pois você faz o seguinte:
diagonal do quadrado tem a formula assim : diagonal = lado √
se o lado do quadrado for 10 a diagonal será 10√ pois você faz o seguinte:
diagonal² = 10² + 10²
d² = √200
d² = √200
d = √2.5
d = 10
Cálculo da altura do triangulo equilátero:
Altura do triangulo eqüilátero tem a formula assim: h =√
Se os lados do triangulo forem 10 a altura será 5V pois você faz o
seguinte:
Altura² + 5 ² = 10² (obs: esse 5² e a metade da base do
triangulo 10/2 igual a 5)
H² + 25 = 100
H² = 100 – 25
H = √
H =√ 5
Resumo Matemática
Fator comum em evidência
Nesse modelo de fatoração temos que determinar o elemento comum aos termos que formam o polinômio. Observe:
No polinômio x² + 2x, temos que a variável x é comum aos dois termos. Ela será o termo em evidência, a qual dividirá todos os termos do polinômio original.
x² + 2x → x (x + 2)
x² : x = x
2x : x = 2
Veja mais exemplos de fatoração por evidência:
4x³ – 2x² → 2x² (2x – 1)
4x³ : 2x² = 2x
2x : 2x = 1
16x² + 8 → 8 (2x² + 1)
16x² : 8 = 2x²
8 : 8 = 1
Fatoração por Agrupamento
Na fatoração por agrupamento, utilizamos inicialmente a fatoração por evidência e logo em seguida agrupamos os termos sob certas condições também de evidenciação. Observe:
2yx – x – 6y + 3, aplicar evidência entre 2yx e –x e entre –6y e 3.
2yx – x → x (2y – 1)
–6y + 3 → –3 (2y – 1)
2yx – x – 6y + 3 → x (2y – 1) – 3 (2y – 1) → (x – 3) (2y – 1)
Observe mais exemplos:
bx – 2b + x – 2 → bx + x – 2b – 2 → x (b + 1) – 2 (b + 1) → (x – 2) (b + 1)
10x² + 15xy + 4x + 6y → 10x² + 4x + 15xy + 6y → 2x (5x + 2) + 3y (5x + 2) → (2x + 3y) ( 5x + 2)
Diferença entre dois quadrados
Nessa fatoração aplicaremos a raiz quadrada entre os elementos. O valor resultante das raízes formará uma multiplicação entre binômios no mesmo modelo do notável produto da soma pela diferença. Veja:
4x² – 16 → (2x + 4) (2x – 4)
√4x² = 2x
√16 = 4
25x² – 100 → (5x + 10) (5x – 10)
√25x² = 5x
√100 = 10
81x4 – 144 → (9x² + 12) (9x² – 12)
√81x4 = 9x²
√144 = 12
400x² – 49 → (20x + 7) (20x – 7)
√400x² = 20x
√49 = 7
Trinômio quadrado perfeito
Determinaremos o produto notável responsável pela formação do trinômio x² + 2xy + y² ou x² – 2xy + y². Observe:
x² + 18x + 81 → (x + 9)²
√x² = x
√81 = 9
(x + 9)² = (x + 9) (x + 9) = x² + 9x + 9x + 81 = x² + 18x + 81
4x² – 48x + 144 → (2x – 12)²
√4x² = 2x
√144 = 12
(2x + 12)² = (2x + 12) (2x + 12) = 4x² + 24x + 24x + 144 = 4x² + 48x + 144
Nesse modelo de fatoração temos que determinar o elemento comum aos termos que formam o polinômio. Observe:
No polinômio x² + 2x, temos que a variável x é comum aos dois termos. Ela será o termo em evidência, a qual dividirá todos os termos do polinômio original.
x² + 2x → x (x + 2)
x² : x = x
2x : x = 2
Veja mais exemplos de fatoração por evidência:
4x³ – 2x² → 2x² (2x – 1)
4x³ : 2x² = 2x
2x : 2x = 1
16x² + 8 → 8 (2x² + 1)
16x² : 8 = 2x²
8 : 8 = 1
Fatoração por Agrupamento
Na fatoração por agrupamento, utilizamos inicialmente a fatoração por evidência e logo em seguida agrupamos os termos sob certas condições também de evidenciação. Observe:
2yx – x – 6y + 3, aplicar evidência entre 2yx e –x e entre –6y e 3.
2yx – x → x (2y – 1)
–6y + 3 → –3 (2y – 1)
2yx – x – 6y + 3 → x (2y – 1) – 3 (2y – 1) → (x – 3) (2y – 1)
Observe mais exemplos:
bx – 2b + x – 2 → bx + x – 2b – 2 → x (b + 1) – 2 (b + 1) → (x – 2) (b + 1)
10x² + 15xy + 4x + 6y → 10x² + 4x + 15xy + 6y → 2x (5x + 2) + 3y (5x + 2) → (2x + 3y) ( 5x + 2)
Diferença entre dois quadrados
Nessa fatoração aplicaremos a raiz quadrada entre os elementos. O valor resultante das raízes formará uma multiplicação entre binômios no mesmo modelo do notável produto da soma pela diferença. Veja:
4x² – 16 → (2x + 4) (2x – 4)
√4x² = 2x
√16 = 4
25x² – 100 → (5x + 10) (5x – 10)
√25x² = 5x
√100 = 10
81x4 – 144 → (9x² + 12) (9x² – 12)
√81x4 = 9x²
√144 = 12
400x² – 49 → (20x + 7) (20x – 7)
√400x² = 20x
√49 = 7
Trinômio quadrado perfeito
Determinaremos o produto notável responsável pela formação do trinômio x² + 2xy + y² ou x² – 2xy + y². Observe:
x² + 18x + 81 → (x + 9)²
√x² = x
√81 = 9
(x + 9)² = (x + 9) (x + 9) = x² + 9x + 9x + 81 = x² + 18x + 81
4x² – 48x + 144 → (2x – 12)²
√4x² = 2x
√144 = 12
(2x + 12)² = (2x + 12) (2x + 12) = 4x² + 24x + 24x + 144 = 4x² + 48x + 144
Seguindo essa regra e considerando a equação
produto 9y2 – 6y +1 = 0,
para encontramos a sua solução não será preciso utilizar Bháskara, basta
transformá-la em uma equação produto através da fatoração, veja:
9y2 – 6y +1 = 0
O polinômio que forma essa equação é um trinômio do quadrado perfeito, assim, a sua fatoração ficaria da seguinte forma:
(3y – 1) * (3y – 1) = 0
Como são iguais, basta igualar apenas um deles a zero.
3y – 1 = 0
3y = 1
y = 1/3
Portanto, a solução da equação 9y2 – 6y +1 = 0 será S = {1/3}
Exemplo 3
n2 – 121 = 0
O polinômio que forma essa equação é a diferença de dois quadrados, assim, a sua fatoração ficaria da seguinte forma:
(n + 11) * (n – 11) = 0
Igualando os dois polinômios a zero encontraremos a solução da equação.
n + 11 = 0
n = –11
n – 11 = 0
n = 11
Portanto, a solução da equação n2 – 121 = 0 será, S = {11 ; -11}.
Veja mais exemplos resolvidos
Exemplo 4
(x – 1) * (x +4) * (x – 4) = 0
x – 1 = 0
x = 1
x + 4 = 0
x = – 4
x – 4 = 0
x = 4
Conjunto solução {1; 4, –4}
9y2 – 6y +1 = 0
O polinômio que forma essa equação é um trinômio do quadrado perfeito, assim, a sua fatoração ficaria da seguinte forma:
(3y – 1) * (3y – 1) = 0
Como são iguais, basta igualar apenas um deles a zero.
3y – 1 = 0
3y = 1
y = 1/3
Portanto, a solução da equação 9y2 – 6y +1 = 0 será S = {1/3}
Exemplo 3
n2 – 121 = 0
O polinômio que forma essa equação é a diferença de dois quadrados, assim, a sua fatoração ficaria da seguinte forma:
(n + 11) * (n – 11) = 0
Igualando os dois polinômios a zero encontraremos a solução da equação.
n + 11 = 0
n = –11
n – 11 = 0
n = 11
Portanto, a solução da equação n2 – 121 = 0 será, S = {11 ; -11}.
Veja mais exemplos resolvidos
Exemplo 4
(x – 1) * (x +4) * (x – 4) = 0
x – 1 = 0
x = 1
x + 4 = 0
x = – 4
x – 4 = 0
x = 4
Conjunto solução {1; 4, –4}
Roteiro de Matemática
Roteiro de estudos
para a prova
Matemática – 1ª prova – dia: 14 / 05
9º ano – E.F.II – Prof. Paulo Roberto
Habilidades
a serem avaliadas
- Identificar figuras
semelhantes
- Reconhecer a
semelhança de triângulos
- Efetuar cálculos
proporcionais
- Aplicar a propriedade
fundamental das proporções
- Aplicar as relações
métricas no triângulo retângulo
- Aplicar o Teorema de
Pitágoras
- Resolver
situações-problema que envolva cálculo de diagonal de quadrado
- Resolver situações-problema que
envolva cálculo de altura do triângulo equilátero
- Efetuar cálculos
envolvendo potências
- Calcular o valor de
expressões envolvendo potências
- Aplicar as
propriedades da potenciação
- Expressar valores
usando a notação científica
- Calcular raízes
quadradas
- Simplificar radicais
-
Efetuar cálculos envolvendo radicais
- Racionalizar
denominadores que são raízes quadradas
- Desenvolver os
seguintes produtos notáveis:
-
quadrado da soma de 2 termos: (
a + b )² = a² + 2ab + b²
-
quadrado da diferença de 2 termos: (
a – b )² = a² - 2ab + b²
- produto da soma pela
diferença de 2 termos: ( a + b
)( a – b ) = a² - b²
-
Desenvolver produtos notáveis efetuando operações com radicais
-
Fatorar polinômios.
-
Resolver equações através da fatoração de polinômios
-
Resolver equações através do isolamento da variável
Conteúdos
cobrados na prova:
- Cap. 1 – Semelhança
- Triângulos semelhantes
- Relações métricas no triângulo
retângulo
- Teorema de Pitágoras
- Cálculo da diagonal do quadrado
- Cálculo da altura do triângulo
retângulo
- Cap. 2 – Potências e
raízes
- Potenciação ( propriedades )
- Expressões com potências
- Notação científica
- Cálculo de raízes exatas
- Simplificação de radicais
- Racionalização de denominadores (
1º caso )
- Efetuar operações envolvendo
radicais
-
Produtos notáveis envolvendo radicais
- Cap. 3 – Produtos
notáveis
-
Fatoração de polinômios
-
Resolver equações através da fatoração de polinômios
-
Resolver equações através do isolamento da variável
Dicas para estudar: Estude refazendo
os exercícios dos capítulos 1, 2 e 3 do
livro.
Pratique o cálculo de medidas no
triângulo retângulo através das relações métricas, juntamente com a
simplificação de radicais, no momento de extrair a raiz quadrada. Pratique as
propriedades da potenciação e o cálculo de expressões numéricas envolvendo:
frações, potências e raízes. Pratique operações envolvendo produtos notáveis
com radicais. Pratique a fatoração de polinômios, o desenvolvimento de produtos
notáveis e a resolução de equações usando a fatoração de polinômios.
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