Fator comum em evidência
Nesse modelo de fatoração temos que determinar o elemento comum aos termos que formam o polinômio. Observe:
No polinômio x² + 2x, temos que a variável x é comum aos dois termos. Ela será o termo em evidência, a qual dividirá todos os termos do polinômio original.
x² + 2x → x (x + 2)
x² : x = x
2x : x = 2
Veja mais exemplos de fatoração por evidência:
4x³ – 2x² → 2x² (2x – 1)
4x³ : 2x² = 2x
2x : 2x = 1
16x² + 8 → 8 (2x² + 1)
16x² : 8 = 2x²
8 : 8 = 1
Fatoração por Agrupamento
Na fatoração por agrupamento, utilizamos inicialmente a fatoração por evidência e logo em seguida agrupamos os termos sob certas condições também de evidenciação. Observe:
2yx – x – 6y + 3, aplicar evidência entre 2yx e –x e entre –6y e 3.
2yx – x → x (2y – 1)
–6y + 3 → –3 (2y – 1)
2yx – x – 6y + 3 → x (2y – 1) – 3 (2y – 1) → (x – 3) (2y – 1)
Observe mais exemplos:
bx – 2b + x – 2 → bx + x – 2b – 2 → x (b + 1) – 2 (b + 1) → (x – 2) (b + 1)
10x² + 15xy + 4x + 6y → 10x² + 4x + 15xy + 6y → 2x (5x + 2) + 3y (5x + 2) → (2x + 3y) ( 5x + 2)
Diferença entre dois quadrados
Nessa fatoração aplicaremos a raiz quadrada entre os elementos. O valor resultante das raízes formará uma multiplicação entre binômios no mesmo modelo do notável produto da soma pela diferença. Veja:
4x² – 16 → (2x + 4) (2x – 4)
√4x² = 2x
√16 = 4
25x² – 100 → (5x + 10) (5x – 10)
√25x² = 5x
√100 = 10
81x4 – 144 → (9x² + 12) (9x² – 12)
√81x4 = 9x²
√144 = 12
400x² – 49 → (20x + 7) (20x – 7)
√400x² = 20x
√49 = 7
Trinômio quadrado perfeito
Determinaremos o produto notável responsável pela formação do trinômio x² + 2xy + y² ou x² – 2xy + y². Observe:
x² + 18x + 81 → (x + 9)²
√x² = x
√81 = 9
(x + 9)² = (x + 9) (x + 9) = x² + 9x + 9x + 81 = x² + 18x + 81
4x² – 48x + 144 → (2x – 12)²
√4x² = 2x
√144 = 12
(2x + 12)² = (2x + 12) (2x + 12) = 4x² + 24x + 24x + 144 = 4x² + 48x + 144
Nesse modelo de fatoração temos que determinar o elemento comum aos termos que formam o polinômio. Observe:
No polinômio x² + 2x, temos que a variável x é comum aos dois termos. Ela será o termo em evidência, a qual dividirá todos os termos do polinômio original.
x² + 2x → x (x + 2)
x² : x = x
2x : x = 2
Veja mais exemplos de fatoração por evidência:
4x³ – 2x² → 2x² (2x – 1)
4x³ : 2x² = 2x
2x : 2x = 1
16x² + 8 → 8 (2x² + 1)
16x² : 8 = 2x²
8 : 8 = 1
Fatoração por Agrupamento
Na fatoração por agrupamento, utilizamos inicialmente a fatoração por evidência e logo em seguida agrupamos os termos sob certas condições também de evidenciação. Observe:
2yx – x – 6y + 3, aplicar evidência entre 2yx e –x e entre –6y e 3.
2yx – x → x (2y – 1)
–6y + 3 → –3 (2y – 1)
2yx – x – 6y + 3 → x (2y – 1) – 3 (2y – 1) → (x – 3) (2y – 1)
Observe mais exemplos:
bx – 2b + x – 2 → bx + x – 2b – 2 → x (b + 1) – 2 (b + 1) → (x – 2) (b + 1)
10x² + 15xy + 4x + 6y → 10x² + 4x + 15xy + 6y → 2x (5x + 2) + 3y (5x + 2) → (2x + 3y) ( 5x + 2)
Diferença entre dois quadrados
Nessa fatoração aplicaremos a raiz quadrada entre os elementos. O valor resultante das raízes formará uma multiplicação entre binômios no mesmo modelo do notável produto da soma pela diferença. Veja:
4x² – 16 → (2x + 4) (2x – 4)
√4x² = 2x
√16 = 4
25x² – 100 → (5x + 10) (5x – 10)
√25x² = 5x
√100 = 10
81x4 – 144 → (9x² + 12) (9x² – 12)
√81x4 = 9x²
√144 = 12
400x² – 49 → (20x + 7) (20x – 7)
√400x² = 20x
√49 = 7
Trinômio quadrado perfeito
Determinaremos o produto notável responsável pela formação do trinômio x² + 2xy + y² ou x² – 2xy + y². Observe:
x² + 18x + 81 → (x + 9)²
√x² = x
√81 = 9
(x + 9)² = (x + 9) (x + 9) = x² + 9x + 9x + 81 = x² + 18x + 81
4x² – 48x + 144 → (2x – 12)²
√4x² = 2x
√144 = 12
(2x + 12)² = (2x + 12) (2x + 12) = 4x² + 24x + 24x + 144 = 4x² + 48x + 144
Seguindo essa regra e considerando a equação
produto 9y2 – 6y +1 = 0,
para encontramos a sua solução não será preciso utilizar Bháskara, basta
transformá-la em uma equação produto através da fatoração, veja:
9y2 – 6y +1 = 0
O polinômio que forma essa equação é um trinômio do quadrado perfeito, assim, a sua fatoração ficaria da seguinte forma:
(3y – 1) * (3y – 1) = 0
Como são iguais, basta igualar apenas um deles a zero.
3y – 1 = 0
3y = 1
y = 1/3
Portanto, a solução da equação 9y2 – 6y +1 = 0 será S = {1/3}
Exemplo 3
n2 – 121 = 0
O polinômio que forma essa equação é a diferença de dois quadrados, assim, a sua fatoração ficaria da seguinte forma:
(n + 11) * (n – 11) = 0
Igualando os dois polinômios a zero encontraremos a solução da equação.
n + 11 = 0
n = –11
n – 11 = 0
n = 11
Portanto, a solução da equação n2 – 121 = 0 será, S = {11 ; -11}.
Veja mais exemplos resolvidos
Exemplo 4
(x – 1) * (x +4) * (x – 4) = 0
x – 1 = 0
x = 1
x + 4 = 0
x = – 4
x – 4 = 0
x = 4
Conjunto solução {1; 4, –4}
9y2 – 6y +1 = 0
O polinômio que forma essa equação é um trinômio do quadrado perfeito, assim, a sua fatoração ficaria da seguinte forma:
(3y – 1) * (3y – 1) = 0
Como são iguais, basta igualar apenas um deles a zero.
3y – 1 = 0
3y = 1
y = 1/3
Portanto, a solução da equação 9y2 – 6y +1 = 0 será S = {1/3}
Exemplo 3
n2 – 121 = 0
O polinômio que forma essa equação é a diferença de dois quadrados, assim, a sua fatoração ficaria da seguinte forma:
(n + 11) * (n – 11) = 0
Igualando os dois polinômios a zero encontraremos a solução da equação.
n + 11 = 0
n = –11
n – 11 = 0
n = 11
Portanto, a solução da equação n2 – 121 = 0 será, S = {11 ; -11}.
Veja mais exemplos resolvidos
Exemplo 4
(x – 1) * (x +4) * (x – 4) = 0
x – 1 = 0
x = 1
x + 4 = 0
x = – 4
x – 4 = 0
x = 4
Conjunto solução {1; 4, –4}
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