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Resumo Matemática


Fator comum em evidência 

Nesse modelo de fatoração temos que determinar o elemento comum aos termos que formam o polinômio. Observe:

No polinômio x² + 2x, temos que a variável x é comum aos dois termos. Ela será o termo em evidência, a qual dividirá todos os termos do polinômio original.

x² + 2x → 
x  (x + 2)
x² : x = x
2x : x = 2

Veja mais exemplos de fatoração por evidência:

4x³ – 2x² → 
2x²  (2x – 1)
4x³ : 2x² = 2x
2x : 2x = 1

16x² + 8 →
 8  (2x² + 1)
16x² : 8 = 2x²
8 : 8 = 1


Fatoração por Agrupamento 

Na fatoração por agrupamento, utilizamos inicialmente a fatoração por evidência e logo em seguida agrupamos os termos sob certas condições também de evidenciação. Observe:

2yx – x – 6y + 3, aplicar evidência entre 2yx e –x e entre –6y e 3.

2yx – x → x  (2y – 1)

–6y + 3 → –3  (2y – 1)

2yx – x – 6y + 3 → x  (2y – 1) – 3  (2y – 1) → (x – 3) (2y – 1)


Observe mais exemplos:


bx – 2b + x – 2 → bx + x – 2b – 2 → x (b + 1) – 2  (b + 1) → (x – 2)  (b + 1)

10x² + 15xy + 4x + 6y → 10x² + 4x + 15xy + 6y → 2x  (5x + 2) + 3y  (5x + 2) → (2x + 3y)  ( 5x + 2)



Diferença entre dois quadrados 

Nessa fatoração aplicaremos a raiz quadrada entre os elementos. O valor resultante das raízes formará uma multiplicação entre binômios no mesmo modelo do notável produto da soma pela diferença. Veja:

4x² – 16 → 
(2x + 4) (2x – 4) 
√4x² = 2x
√16 = 4

25x² – 100 → 
(5x + 10) (5x – 10) 
√25x² = 5x
√100 = 10

81x4 – 144 → 
(9x² + 12)  (9x² – 12) 
√81x4 = 9x²
√144 = 12


400x² – 49 → 
(20x + 7)  (20x – 7) 
√400x² = 20x
√49 = 7



Trinômio quadrado perfeito

Determinaremos o produto notável responsável pela formação do trinômio x² + 2xy + y² ou x² – 2xy + y². Observe:

x² + 18x + 81 → 
(x + 9)²
√x² = x
√81 = 9
(x + 9)² = (x + 9)  (x + 9) = x² + 9x + 9x + 81 = x² + 18x + 81


4x² – 48x + 144 → 
(2x – 12)² 
√4x² = 2x
√144 = 12
(2x + 12)² = (2x + 12)  (2x + 12) = 4x² + 24x + 24x + 144 = 4x² + 48x + 144


Seguindo essa regra e considerando a equação produto 9y2 – 6y +1 = 0, para encontramos a sua solução não será preciso utilizar Bháskara, basta transformá-la em uma equação produto através da fatoração, veja: 

9y
2 – 6y +1 = 0 

O polinômio que forma essa equação é um trinômio do quadrado perfeito, assim, a sua fatoração ficaria da seguinte forma: 

(3y – 1) * (3y – 1) = 0 

Como são iguais, basta igualar apenas um deles a zero. 
3y – 1 = 0 
3y = 1 
y = 1/3 

Portanto, a solução da equação 9y
2 – 6y +1 = 0 será S = {1/3} 

Exemplo 3 

n
2 – 121 = 0 

O polinômio que forma essa equação é a diferença de dois quadrados, assim, a sua fatoração ficaria da seguinte forma: 

(n + 11) * (n – 11) = 0 

Igualando os dois polinômios a zero encontraremos a solução da equação. 

n + 11 = 0 
n = –11 

n – 11 = 0 
n = 11 

Portanto, a solução da equação n2 – 121 = 0 será, S = {11 ; -11}. 


Veja mais exemplos resolvidos 

Exemplo 4 

(x – 1) * (x +4) * (x – 4) = 0 

x – 1 = 0 
x = 1 

x + 4 = 0 
x = – 4 

x – 4 = 0 
x = 4 

Conjunto solução {1; 4, –4} 

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