Primeiro caso de fatoração: Evidenciação
Consideremos o polinômio 6ax2 - 4ax3
+ 2ax, que pode ser escrito como :
(2ax).(3x) - (2ax).(2x) + (2ax).(1). Percebemos que
o fator 2ax esta presente em todos
os termos do polinômio. 2ax é o fator comum e deverá
ser colocado em evidência.
Assim : 6ax2 - 4ax3 + 2ax =
(2ax) (3x - 2x2 + 1)
Exemplo 01) Fatorar o polinômio 7m2p4
- 14m3p2 + 21m4p3
Colocando o fator comum 7m2p2
em evidência, teremos :
7m2p4
- 14m3p2 + 21m4p3 = 7m2p2
( p2 - 2m + 3m2p)
Exemplo 02) Fatorar o polinômio 2m3(a -
b) + 8m2( a - b)
Colocando o fator comum 2m2(a - b) em evidência, teremos :
2m3(a - b) + 8m2( a - b ) =
[2m2(a - b)] ( m + 4) = 2m2(a - b)( m + 4)
Segundo caso de fatoração: Trinômio Quadrado Perfeito
Já aprendemos em produtos notáveis que :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
e (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
O que faremos agora é transformarmos a soma
algébrica a2 ± 2ab + b2 em sua
forma fatorada (a ± b)2. E para tal
precisamos compreender que um trinômio será
quadrado perfeito quando possuir dois de seus três
termos quadrados e o terceiro
sendo igual ao dobro do produto entre as raízes
quadradas dos termos quadrados.
Exemplo 03) Se possível, fatore o polinômio 4m2
+ 12mn2 + 9n4
O polinômio possui dois termos quadrados 4m2
e 9n4, e cujas raízes quadradas
são, respectivamente, 2m e 3n2. O dobro
do produto entre essas raízes é
exatamente igual ao terceiro termo 12mn2.
E dessa forma o polinômio 4m2 + 12mn2
+ 9n4 é um trinômio quadrado perfeito
e pode, portanto ser fatorado.
A raiz quadrada do primeiro termo quadrado é 2m, a
raiz do segundo termo
quadrado é 3n2 e o sinal que os une será
o sinal do terceiro termo + 12mn2.
Dessa forma, teremos : 4m2 + 12mn2
+ 9n4 = ( 2m + 3n2)2
Exemplo 04) Se possível, fatore o polinômio 16x4
+ 36x2y3 + 25y6
O polinômio possui dois termos quadrados 16x4
e 25y6, e cujas raízes quadradas
são, respectivamente, 4x2 e 5y3.
O dobro do produto entre essas raízes é igual a
40x2y3 que é diferente do
terceiro termo 36x2y3.
E dessa forma o polinômio 16x4 + 36x2y3
+ 25y6 não é um trinômio quadrado
perfeito e não pode, portanto, ser fatorado, pelo
menos como um trinômio
quadrado perfeito.
Exemplo 05) Se possível, fatore o polinômio 36 -
132p6n + 121p12n
O polinômio possui dois termos quadrados 36 e 121p12n,
e cujas raízes
quadradas são, respectivamente, 6 e 116n.
O dobro do produto entre essas
raízes é exatamente igual ao terceiro termo 132p6n.
E dessa forma o polinômio 36 - 132p6n +
121p12n é um trinômio quadrado
perfeito e pode, portanto, ser fatorado.
A raiz quadrada do primeiro termo quadrado é 6, a
raiz do segundo termo
quadrado é 11p6n e o sinal que os une
será o sinal do terceiro termo - 132p6n,
Dessa forma, teremos : 36 - 132p6n + 121p12n
= ( 6 - 11p6n)2
Terceiro caso de fatoração: Diferença de dois
quadrados
Já aprendemos em produtos notáveis que :
(a + b) (a - b)
= a2 - b2
O que faremos agora é transformarmos a diferença
algébrica a2 - b2 em sua forma
fatorada (a + b) (a - b). E para tal precisamos
extrair as raízes quadradas de ambos
os termos e montarmos com essas raízes a sua soma
multiplicada por sua diferença.
Exemplo 06) Fatore o binômio 64x2 - 25y8
O binômio é uma diferença de dois quadrados 64x2
e 25y8, e cujas raízes
quadradas são, respectivamente, 8x e 5y4.
Montando a soma (8x + 5y4) e a diferença
(8x - 5y4) e as multiplicando, teremos
nossa fatoração concluída.
Assim : 64x2 - 25y8 = (8x + 5y4)
(8x - 5y4)
Exemplo 07) Fatore 81 - 0,49k6
O binômio é uma diferença de dois quadrados 81 e
0,49k6, e cujas raízes
quadradas são, respectivamente, 9 e 0,7k3.
Montando a soma (9 + 0,7k3) e a diferença
(9 - 0,7k3) e as multiplicando,
teremos nossa fatoração concluída.
Assim : 81 -
0,49k6 = (9 + 0,7k3) (9 - 0,7k3)
Veja que interessante: Já sabemos que 49 - 25 = 24.
Vamos fazer essa diferença entre dois quadrados
utilizando a fatoração,
que acabamos de aprender: 49 - 25 = (7 + 5) ( 7 - 5
) = 12 x 2 = 24
( deu, é claro, o mesmo resultado )
Quarto caso de fatoração: Agrupamento
Quando em um polinômio dois ou mais termos possuem
um termo comum que evidenciado faz aparecer um termo comum à
fatoração dos demais termos. Só com alguns exemplos
podemos compreender melhor esse caso de fatoração.
Por essa razão o deixamos como o último caso de
fatoração.
Exemplo 8) Fatore o polinômio ac + ad + bc + bd (1ª
resolução )
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator
comum a em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum
b em evidência, teremos :
ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b( c + d). E
colocando o novo fator comum (c + d) em evidência, teremos :
ac + ad + bc + bd = a(c +
d) + b(c + d) = (c + d) (a + b)
Exemplo 9) Fatore o polinômio ac + ad + bc + bd (2ª
resolução )
Vamos agrupar agora o primeiro e o terceiro termo e,
também, o segundo e o quarto termo.
ac + ad + bc + bd = ac +
bc + ad + bd
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator
comum c em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum
d em evidência, teremos :
ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b)
E colocando o novo fator comum (a + b) em evidência,
teremos :
ac + bc + ad + bd = c(a +
b) + d(a + b) = (a + b) (c + d)
Exemplo 10) Fatore o polinômio 2am + an - 6bm - 3bn
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator
comum a em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum
- 3b em evidência, teremos :
2am + an - 6bm - 3bn = a(2m + n) - 3b(2m + n).
E colocando o novo fator comum (2m + n) em
evidência, teremos :
2am + an - 6bm - 3bn = a(2m + n) - 3b(2m + n) = (2m
+ n) (a - 3b)
Exemplo 11) Fatore 3a2x - 2b2
+ 2a2 - 3b2x
Reagrupando o polinômio, teremos : 3a2x -
3b2x + 2a2 - 2b2
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator
comum 3x em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator
comum 2 em evidência, teremos :
3a2x - 3b2x + 2a2 -
2b2 = 3x(a2 - b2) - 2(a2 - b2)
E colocando o novo fator comum (a2 - b2)
em evidência, teremos :
3a2x - 3b2x + 2a2 -
2b2 = 3x(a2 - b2) - 2(a2 - b2)
= (a2 - b2) (3x - 2)
E como o fator (a2 - b2) é
fatorável e igual a (a + b) (a - b), teremos, finalmente :
3a2x - 3b2x + 2a2 -
2b2 = 3x(a2 - b2) - 2(a2 - b2)
= (a2 - b2) (3x - 2) = (a + b) (a - b) (3x - 2)
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